高等数学作业一

1．下列函数，在指定的区间上是否满足罗尔定理的条件？

  （1）                （2）

2．验证拉格朗日中值定理对函数 在 上的正确性。

3．证明不等式：

4．证明方程   只有一个正根。

5．用洛必达法则求下列极限

（1） ；              

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5）

6．验证极限 存在，但不能用洛必达法则得出。

7．求下列极限

（1） ；       

（2） ；

（3） ；                       

（4） ；

8．设 ，问当 为何值时， 在点 处连续。

9．将函数 在 处展开成一、二、三阶泰勒公式（拉格朗日型余项）。

10．求函数 的二阶麦克劳林公式。

11．证明函数 单调增加。

12．确定下列函数的单调区间

13．证明不等式，当 时， 。

14．试证：当 时，方程 只有一个实根。

高等数学作业二

1．求下列函数的极值

（1） ；

（2） 。

2．试问 为何值时，函数 在 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。

3．求函数 的最大值、最小值。

4、求下列函数的凹凸区间及拐点。

（1）

（2）

5、求 的值，使点（1，6）为曲线 的拐点。

6、试确定 的值，使曲线 有拐点（1，2）且在该点处的切线斜率为-1。

7、描绘函数 的图形。

8．在曲线 上求一点 的坐标，使曲线在该点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小。

9．设某超市以每件10元的进价购进一些玩具，并设此种商品的需求函数（每天的需求量）为

其中 为需求量，单位为件； 为销售价格，单位为元。问该超市应将售价定为多少元卖出，才能获得最大利润？

10．计算正弦曲线 上点 处的曲率。

11．曲线 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。

作业三

一、填空题{每小题3分，本题共15分}

二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

四、应用题(本题12分)

    用钢板焊接一个容积为4m3的正方形的方盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低?最低总费是多少?

五、证明题(本题4分)

作业四

一、一、填空题(每小题3分，本题共15分)

3．已知在曲线上任一点的切线的斜率为3x2，并且曲线过点(1，4)，则曲线方程是

_________。

二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)

三、计算题(本题共54分，每小题6分)

四、应用题(本题12分)

    某制罐厂要生产一种体积为v的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高之比为多大时用料最省?

五、证明题(本题4分)